Senin, 30 Januari 2012

APROKSIMASI KESALAHAN

MAKALAH TENTANG
APROKSIMASI KESALAHAN




Kata pengantar


       Rasa syukur yang dalam saya sampaikan ke hadiran Tuhan Yang Maha Pemurah,  karena berkat kemurahanNya makalah ini dapat saya selesaikan sesuai yang diharapkan.Dalam makalah ini saya membahas Tentang  “APROKSIMASI KESALAHAN ,
Dalam Penulisan makalah ini saya merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki saya . Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat saya harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.
Dalam penulisan makalah ini saya menyampaikan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada pihak-pihak yang membantu dalam menyelesaikan penelitian ini, khususnya kepada :
Ø  Ibu , Nurhayati Spd, Selaku guru yang bersangkutan  sekaligus pembimbing dalam pembuatan makalah ini.
Ø  Serta kepada pihak-pihak yang membantu dalam penulisan ini.

Akhirnya penulis berharap semoga Allah memberikan imbalan yang setimpal pada mereka yang telah memberikan bantuan, dan dapat menjadikan semua bantuan ini sebagai ibadah, Amiin Yaa Robbal ‘Alamiin.
Demikian makalah ini saya buat semoga bermanfaat , bagi siapa saja yang membaca.








APROKSIMASI KESALAHAN

Glossary

ISTILAH
KETERANGAN

Hasil membilang
Merupakan bilangan yang pasti.

Hasil menghitung
Merupakan bilangan pembulatan atau pendekatan.

Macam-macam
membulatkan hasil
pengukuran

Tiga macam cara membulatkan hasil pengukuran
a. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat
b. Pembulatan ke banyaknya angka-angka
terdekat
c. Pembulatan ke banyaknya angka-angka yang
signifikan
Teloransi kesalahan
pengukuran

Jika dalam suatu pengukuran toleransi kesalahan
telah diketahui, maka sering ditemui penulisan
hasil sebagai: hasil pengukuran ? toleransi
kesalahan
Macam-macam
kesalahan pengukuran.


a. Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat
ketelitian dalam pengukuran.
b. Salah mutlak adalah setengah kali pengukuran
terkecil.
c. Salah relatif pengukuran adalah salah mutlak
pengukuran dibagi hasil pengukuran.
d. Prosentase kesalahan pengukuran adalah salah
relatif pengukuran kali 100.
e. Ukuran terbesar suatu pengukuran adalah
jumlahan hasil pengukuran dengan salah
mutlak pengukuran.
f. Ukuran terkecil suatu pengukuran adalah
pengurangan hasil pengukuran oleh salah
mutlak pengukuran.
g. Toleransi kesalahan pengukuran adalah selisih
antara ukuran terbesar dengan ukuran terkecil yang dapat diterima.



Menerapkan
Konsep Kesalahan Pengukuran
Membilang dan Mengukur
Dalam keseharian, seseorang sering melakukan penghitungan banyaknya objek atau benda. Seperti menghitung:
  1. Banyaknya siswa laki-laki yang ada di SMK Negeri I PANGANDARAN.
  2. Banyaknya transaksi penjualan dalam satu hari.
  3. Banyaknya pelanggan yang berasal dari kota Bandung.
  4. Banyaknya wisatawan asing yang mengunjungi Pulau Bali.
  5. Besarnya pendapatan daerah yang berasal dari pajak Hotel dan Rumah Makan.
Kegiatan menghitung di atas menghasilkan suatu bilangan yang pasti, dapat dianggap tanpa ada suatu kesalahan. Suatu kegiatan yang menghasilkan suatu besaran bilangan yang pasti seperti ini dinamakan membilang. Jadi hasil dari kegiatan membilang adalah suatu bilangan yang pasti atau eksak, tanpa ada suatu kesalahan.
Berikut ini adalah contoh – contoh bilangan hasil dari membilang.
  1. Banyaknya siswa laki-laki yang ada di SMK Negeri I PANGANDARAN adalah 279 orang.
  2. Transaksi penjualan Apotik Sehat hari ini adalah Rp. 1.000.000,00.
  3. Ada 75 pelanggan yang berasal dari kota Bandung.
  4. Wisatawan asing yang mengunjungi Pulau Bali di tahun 2007 sebanyak 2.500.000 orang.
  5. Pendapatan daerah yang berasal dari pajak Hotel dan Rumah Makan di Kota Jakarta adalah Rp. 2.700.000.000,00.
Disisi lain, ada suatu kegiatan pengukuran terhadap keadaan dari suatu benda atau objek. Seperti melakukan pengukuran:
  1. Suhu dalam suatu ruangan.
  2. Luas area persawahan di Propinsi Jawa Timur.
  3. Berat kendaraan truk dalam keadaan kosong.
  4. Ketinggian air sungai bengawan Solo.
Kegiatan di atas menghasilkan suatu bilangan yang tidak sama persis dengan ukuran sebenarnya dari objek yang diukur, dapat dianggap ada suatu kesalahan. Kegiatan semacam ini dinamakan mengukur. Jadi hasil dari kegiatan mengukur adalah suatu bilangan yang tidak eksak, ada suatu kesalahan. Akan tetapi hasil pengukuran ini mendekati nilai sebenarnya. Dengan kata lain, hasil pengukuran adalah suatu bilangan pendekatan atau aproksimasi. Walaupun hasil pengukuran berupa nilai pendekatan, ketelitian harus diperhatikan.
Berikut ini adalah contoh – contoh bilangan hasil dari mengukur.
  1. Suhu dalam suatu Kamar Operasi di Rumah Sakit Cipto adalah 20,5 0 C.
  2. Luas area persawahan di Propinsi Jawa Timur 5700 Ha.
  3. Berat kendaraan truk dalam keadaan kosong 5,25 ton.
  4. Ketinggian air sungai bengawan Solo pada tanggal 5 Oktober 2007 adalah 5,9 m.
  5. Diameter dari kepingan uang logam Rp. 100 adalah 2,15 cm.
Bilangan pendekatan seperti contoh di atas biasanya didapat dari pengukuran berdasarkan pembulatan.

Pembulatan
Ada tiga macam pembulatan, yaitu:
1. Pembulatan bilangan ke satuan ukuran terdekat.
Sebagai misal: diinginkan mengukur tinggi badan seseorang dengan menggunakan satuan cm. Tinggi badan dari si Aldi adalah 172,5 cm. Hasil ini dapat dibulatkan menjadi 173 cm.
Jika bilangan riil x=a1a2…am,b1b2…bn-1bn akan dibulatkan ke satuan ukuran terdekat, maka aturan pembulatan sebagai berikut:
i. Jika angka bn <>x = a1a2…am,b1b2…bn-1 .
ii. Jika angka bn > 5 maka bilangan x = a1a2…am,b1b2(bn-1+1) .
iii. Jika angka bn = 5 maka tergantung nilai bn-1
  • · Jika bn-1 merupakan angka genap maka bilangan x = a1a2…am,b1b2…bn-1
  • · Jika bn-1 merupakan angka ganjil maka bilangan x = a1a2…am,b1b2(bn-1+1)
Contoh 1:
Pada suatu pengukuran didapat besaran bilangan 314,25 m, ekspresi bilangan ini menyatakan pembulatan sampai dengan perseratus meter terdekat atau sampai dengan 1 cm terdekat. Bilangan 314,25 m dapat juga dibulatkan menjadi 314,3 m yang berarti pembulatan sampai dengan persepuluh meter terdekat. Bilangan 314,3 m dapat juga dibulatkan menjadi 314 m yang berarti pembulatan sampai dengan satuan meter terdekat.



Contoh 2:
Tabel berikut ini merupakan contoh pembulatan beberapa bilangan.
Bilangan x
Pembulatan dari x
0,2342
0,234
3,148
3,15
25,45
25,4
25,35
25,4

2. Pembulatan bilangan ke dalam banyaknya desimal yang dikehendaki.
Pembulatan sampai dengan sekian tempat desimal dibelakang koma. Sebagai misal: diinginkan mengukur lamanya (running time) suatu program dijalankan oleh suatu komputer dalam menit. Hasil yang dikehendaki adalah tiga angka (digit) dibelakang koma atau tiga tempat desimal. Misal dalam percobaan didapat hasil 1,351 menit, iini berarti dibulatkan sampai dengan 3 tempat desimal.
Contoh 3:
Pada suatu pengukuran didapat besaran bilangan 314,25 m, ekspresi bilangan ini menyatakan pembulatan sampai dengan dua tempat desimal. Bilangan 314,25 m dapat juga dibulatkan menjadi 314,3 m yang berarti pembulatan sampai dengan satu tempat desimal.
Contoh 4:
Pada suatu pengukuran didapat besaran bilangan 314,25785 m, ekspresi bilangan ini menyatakan pembulatan sampai dengan lima tempat desimal. Bilangan tersebut juga dapat dibulatkan kedalam:
  • · Empat tempat desimal, menjadi 314,2578 m
  • · Tiga tempat desimal, menjadi 314,258 m
  • · Dua tempat desimal, menjadi 314,26 m
  •  
Angka Signifikan
Angka – angka dalam suatu bilangan selain deretan angka 0 yang ada diposisi depan dinamakan angka signifikan (significant digit) atau angka penting. Banyaknya angka signifikan pada bilangan hasil pengukuran 1,351 adalah 4. Banyaknya angka signifikan pada bilangan 1,300 adalah 4. Sedangkan bilangan 0,030 mempunyai 2 angka signifikan, yaitu 30 sedangkan deretan 0,0 didepan tidak dihitung.
Contoh 5:
Banyaknya angka signifikan pada beberapa bilangan.
Bilangan
Banyaknya angka signifikan
10.003
5
0.1003
4
0.0103
3

Kesalahan
Seseorang sedang melakukan pengukuran terhadap panjang suatu ruas jalan tol dan panjang kertas A4. Hasil pengukurannya untuk jalan tol didapat 9.950 m dan hasil pengukuran untuk panjang kertas adalah 29 cm. Padahal panjang sebenarnya untuk jalan tol adalah 10.000 m dan panjang sebenarnya untuk kertas A4 adalah 29,7 cm. Disini terjadi kesalahan pengukuran untuk jalan tol sebesar 50 m atau 5.000 cm. Dan kesalahan pengukuran untuk panjang kertas A4 adalah 0,7 cm. Pengukuran yang manakah yang lebih teliti?.
Definisi 1:
Kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dan nilai hasil pengukuran, atau Secara simbolik dinyatakan dengan: Dengan et merupakan kesalahan pengukuran, xs adalah nilai sebenarnya (true value) dan xa adalah nilai pengukuran atau nilai pendekatan (aproksimasi).
Dengan definisi pada persamaan , kesalahan dapat bernilai positif dan dapat pula bernilai negatif. Kesalahan akan bernilai negatif apabila nilai pengukuran lebih besar dari nilai sebenarnya.
Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.
Contoh 1:
Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.
Pengukuran
Panjang Sebenarnya
xt
Hasil Pengukuran
xa
Kesalahan
et
Panjang Jalan Tol
10.000 m
9.950 m
5.000 cm
Panjang Kertas A4
29,7 cm
29 cm
0,7 cm
Kesalahan pada pengukuran jalan tol (5.000 cm) jauh lebih besar jika dibandingkan dengan kesalahan pada pengukuran panjang kertas A4 (0,7 cm). Namun demikian kesalahan pengukuran pada jalan tol tersebut lebih bisa diterima, karena kalau dibandingkan dengan nilai sebenarnya kesalahan tersebut hanya sebesar 10.000 m dibagi 50 m atau sebesar 0,005. Sedangkan kesalahan pengukuran panjang kertas A4 dibandingkan dengan nilai sebenarnya adalah 29,7 cm dibagi 0,7 cm adalah 0,02357.
Oleh karena itu, dibuat suatu definisi tentang kesalahan relatif dan prosentase kesalahan relatif seperti berikut ini.
Definisi 2:
Kealahan relatif (relatif error) didefinisikan sebagai kesalahan dibagi dengan nilai sebenarnya, atau Secara simbolik dinyatakan dengan: Dengan er merupakan kesalahan relatif, et adalah nilai kesalahan dan xt adalah nilai sebenarnya.
Definisi 3:
Prosentase kesalahan relatif didefinisikan sebagai kesalahan relatif dikalikan 100%, atau Dengan per merupakan prosentase kesalahan relatif, et adalah nilai kesalahan dan xt adalah nilai sebenarnya.
Contoh 2:
Pada kasus pengukuran jalan tol dan panjang kertas A4 di atas, kesalahan dapat ditabelkan seperti berikut ini.
Pengukuran
xt
xa
et
er
per
Panjang Jalan Tol
10.000 m
9.950 m
5.000 cm
0,005
0,5%
Panjang Kertas A4
29,7 cm
29 cm
0,7 cm
0,02357
2%
Jadi kesalahan relatif pada pengukuran panjang jalan tol lebih kecil dari kesalahan relatif pada pengukuran panjang kertas A4.
Pada pembahasan kesalahan di atas, nilai sebenarnya telah diketahui. Namun demikian pada sebagian besar permasalahan pengukuran nilai sebenarnya ini belum diketahui. Jika nilai sebenarnya tidak atau belum diketahui, maka rumusan persamaan sampai dengan persamaan tidak dapat digunakan. Untuk itu diperlukan adanya suatu rumusan lain yang dapat dipakai untuk memperkirakan seberapa besar kesalahan dari suatu pengukuran.
Misal seseorang melakukan pengukuran terhadap lebar dari meja, lebar meja yang sebenarnya tidak diketahui. Pada saat melakukan pengukuran terbaca 75 cm. Ini bukan berarti lebar meja yang sebenarnya adalah 75 cm. Hanya pada alat ukur terbaca lebih dekat ke 75 cm dari pada ke 74 cm atau ke 76 cm. Bisa dikatakan bahwa lebar meja tersebut diantara 74.5 cm dan 76.5 cm. Artinya kesalahan pengukuran yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm. Secara tidak formal, nilai 76,5 cm dikatakan sebagai batas atas pengukuran (nilai ukuran terbesar), nilai 74,5 cm merupakan batas bawah pengukuran (nilai ukuran terkecil), dan nilai 0,5 cm sebagai kesalahan mutlak pengukuran. Rentang batas atas dan batas bawah ini dinamakan sebagai satuan pengukuran terkecil.
Selanjutnya akan dibahas beberapa definisi kesalahan yang terkait dengan pengukuran terhadap objek yang nilai sebenarnya tidak diketahui.
Definisi 4:
Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran.
Contoh 3:
Dalam pengukuran lebar meja, digunakan satuan pengukuran cm. Hasil pengukuran lebar meja adalah 75 cm. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 1 cm.
Contoh 4:
Dalam pengukuran lebar jalan, digunakan satuan pengukuran m. Hasil pengukuran lebar jalan adalah 7,5 m. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m.
Contoh 5:
Dalam pengukuran luas dasar kolam bentuk persegi panjang, digunakan satuan pengukuran m2. Hasil pengukuran luas tersebut adalah adalah 45,50 m2. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,01 m2.
Contoh 6:
Dalam pengukuran volume air di dalam tandon bentuk tabung, digunakan satuan pengukuran m3. Hasil pengukuran volume air tersebut adalah adalah 1,5 m3. Dalam pengukuran ini mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 m3.
Definisi 5:
Salah mutlak dalam suatu pengukuran adalah setengah kali satuan pengukuran terkecil, atau Secara simbolik dinyatakan dengan:
Dengan SM merupakan salah mutlak, u adalah satuan ukuran terkecil. Dengan definisi pada persamaan , salah mutlak selalu bernilai positif. Untuk memperjelas pengertian dan pemahaman terhadap definisi di atas, lihat contoh berikut ini.



Contoh 7:
Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah mutlak dari pengukuran tersebut.
Penyelesaian:
Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,1 m.
Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah
Contoh 8:
Suatu produk air minum kemasan dalam botol, tertulis isi 0,75 liter. Tentukan salah mutlak dari isi kemasan air minum tersebut.
Penyelesaian:
Satuan pengukuran terkecil dari hasil pengukuran tersebut adalah u=0,01 liter.
Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran adalah .
Contoh 9:
Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m2. Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm2. Tentukan salah mutlak dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut.
Penyelesaian:
  • · Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m2. Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Wijaya adalah . Atau dalam ukuran cm2 menjadi
  • · Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm2. Dengan menggunakan definisi , salah mutlak pengukuran Alex adalah .
Dengan hanya menggunakan definisi salah mutlak, perbandingan kesalahan dari dua pengukuran sulit untuk dibandingkan. Oleh karena itu, dibuat suatu definisi kesalahan yang merujuk pada nilai pengukurannya. Selanjutnya akan didefinisikan salah relatif dan prosentase salah relatif.
Definisi 6:
Salah relatif didefinisikan sebagai salah mutlak dibagi dengan nilai pengukuran, atau Secara simbolik dinyatakan dengan: Dengan SR merupakan salah relatif, SM adalah salah mutlak nilai dan xa adalah nilai pengukuran.

Definisi 7:
Prosentase salah relatif didefinisikan sebagai salah relatif dikalikan 100%, atau Dengan per merupakan prosentase salah relatif, et adalah salah mutlak nilai dan xt adalah nilai sebenarnya.
Contoh 10:
Seseorang melakukan pengukuran lebar sungai pada contoh 7. Hasil pengukuran tercatat 3,5 m. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran tersebut.
Penyelesaian:
Dari contoh 7, didapat salah mutlak .
  • · Salah Relatif
Dengan menggunakan persamaan , didapat salah relatif sebagai berikut
  • · Prosentase Salah Relatif
Dengan menggunakan persamaan , didapat prosentase salah relatif sebagai berikut
Contoh 11:
Kembali ke contoh 10, Wijaya melakukan pengukuran luas ruangan dan hasil pengukuran tercatat 20,25 m2. Alex si tukang keramik mengatakan luas keramik ini adalah 400,00 cm2. Tentukan salah relatif dan prosentase salah relatif dari pengukuran yang dilakukan Wijaya dan Alex tersebut. Dari hasil perhitungan kesalahan tersebut, manakah yang lebih teliti ?, Wijaya atau Alex?.
Penyelesaian:
  • · Hasil pengukuran Wijaya adalah 20,25 m2. Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:
o Salah mutlak
o Salah relatif
o Prosentase salah relatif
  • · Hasil pengukuran Alex adalah 400,00 cm2. Dengan menggunakan definisi , , dan , didapat:
o Salah mutlak
o Salah relatif
o Prosentase salah relatif
Perbandingan kesalahan dari dua pengukuran Wijaya dan Alex, secara prosentase kesalahan relatifnya, pengukuran Alex mempunyai kesalahan yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan yang dilakukan oleh wijaya.
Definisi 8:
Ukuran terbesar dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran ditambah dengan salah mutlak dari pengukuran. Atau Dengan xa adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.
Definisi 9:
Ukuran terkecil dari suatu pengukuran adalah nilai hasil pengukuran dikurangi dengan salah mutlak dari pengukuran. Atau Dengan xa adalah nilai hasil pengukuran dan SM adalah salah mutlak dari pengukuran.
Contoh 12:
Panjang dari lapangan sepak bola adalah 100 m. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.
Penyelesaian:
  • · Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 1 m.
  • · Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah
  • · Ukuran terbesar pengukuran adalah
  • · Ukuran terkecil pengukuran adalah
Contoh 13:
Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan ukuran terbesar dan ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.
Penyelesaian:
  • · Satuan pengukuran terkecil dari pengukuran adalah u = 0,1 liter.
  • · Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah
  • · Ukuran terbesar pengukuran adalah
  • · Ukuran terkecil pengukuran adalah

Definisi 10:
Toleransi kesalahan pengukuran adalah selisih antara ukuran terbesar dengan ukuran terkecil dari pengukuran.
Teorema 1: Tolerasi kesalahan sama dengan dua kali salah mutlak.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 8, Definisi 9, dan Definisi10 dapat diturunkan : Jadi toleransi kesalahan dapat dicari dengan mengalikan salah mutlak dengan 2.
Contoh 14:
Misal nilai hasil pengukuran isi air dalam botol adalah 1,5 liter. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran tersebut.
Penyelesaian:
Dari contoh 13 didapat:
  • · Salah mutlak dari pengukuran isi air adalah
  • · Ukuran terbesar pengukuran adalah
  • · Ukuran terkecil pengukuran adalah
Dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:
Atau dengan menggunakan persamaan , didapat nilai toleransi kesalahan:
Toleransi kesalahan = 2 SM = 2 (0,05 liter)= 0,1 liter.
Teorema 2:
Jika xa menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terbesar dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran ditambah setengah kali toleransi kesalahan.Bukti:
Berdasarkan persamaan dan didapat :
Teorema 3:
Jika xa menyatakan nilai hasil pengukuran, maka ukuran terkecil dari pengukuran tersebut sama dengan nilai hasil pengukuran dikurangi dua kali toleransi kesalahan.
Bukti:
Berdasarkan persamaan dan didapat : Dalam pernyataan ukuran sebagai ukuran standarisasi, penulisan ukuran standar tersebut biasa dinyatakan dalam bentuk:
Contoh 15:
Pada suatu pengukuran, didapat ukuran terbesar yang dapat diterima 12,4 mm dan ukuran terkecil yang dapat diterima adalah 11,8 mm. Tentukan toleransi kesalahan pengukuran.
Penyelesaian:
Toleransi kesalahan = Ukuran terbesar – ukuran terkecil
= 12,4 mm – 11,8 mm
= 0,6 mm 

Reaksi:

0 komentar: